2023—2024学年度第一学期期中教学质量检测
九年级数学试卷
说明：本试卷共8页；考试时间90分钟；满分120分.
一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题2分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．甲、乙、丙、丁四名运动员进行百米测试，每人5次测试成绩的平均数都是13.4秒，方差分别为s甲2＝0.73，s乙2＝0.75，s丙2＝0.69，s丁2＝0.68，则这四名运动员百米成绩最稳定的是（ ）
a．甲 b．乙 c．丙 d．丁
2．为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，让学生深刻体会数学的魅力，某校举办了一次数学知识竞赛，并随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理如表：
成绩/分 80 85 90 95
人数/人 4 6 8 2
根据表中的信息可知，这些参赛学生成绩的中位数和众数分别是（ ）
a．87.5，90 b．90，90 c．87.5，85 d．90，85
3．为了了解2023年某市九年级学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了1000名学生的数学成绩．下列说法正确的是（ ）
a．2023年该市九年级学生是总体 b．每一名九年级学生是个体
c．1000名九年级学生是总体的一个样本 d．样本容量是1000
4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5的过程中，配方正确的是（ ）
a．（x﹣2）2＝1 b．（x 2）2＝1 c．（x-2）2＝9 d．（x 2）2＝9
5．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣10＝0的两个根，则x1 x2的值为（ ）
a．10 b．3 c．﹣10 d．﹣3
6．一元二次方程x2﹣x 1＝0的根的情况是（ ）
a．有两个相等的实数根 b．有两个不相等的实数根
c．只有一个实数根 d．没有实数根
7．如图，已知ab∥cd∥ef，ad：df＝2：3，若ce＝6，则bc的长为（ ）
a．3 b．4 c．5 d．6
8．已知△abc与△a'b'c'是位似图形，位似比是1：3，则△abc与△a'b'c'的面积比是（ ）
a．1：3 b．1：6 c．1：9 d．3：1
9．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠a＝88°，∠c＝42°，ab＝60，则点a到bc的距离为（ ）
a．60sin50° b． c．60cos50° d．60tan50°
10．如图，商用手扶梯ab的坡比为1：，已知扶梯的长ab为12米，则小明乘坐扶梯从b处到a处上升的高度ac为（ ）
a．6米 b．米 c．12米 d．米
11.一鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出情况如下表：
型号 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
数量/双 3 5 10 15 8 3 2
鞋店经理最关心哪种型号的鞋最畅销，则下列统计量最有意义的是（ ）
a.平均数 b.中位数 c.众数 d.方差
12．用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（ ）
a．x（12﹣2x 1）＝20 b． c． d．x（12﹣2x﹣1）＝20
13．如图，在正方形abcd中，e是bc的中点，f是cd上一点，ae⊥ef，cf＝2，则af的长为（ ）
a．6 b．8 c．10 d．12
14．如图，一艘船由a港沿北偏东65°方向航行30km至b港，然后再沿北偏西40°方向航行至c港，c港在a港北偏东20°方向，则a，c两港之间的距离为（ ）km．
a．30 30 b．30 10 c．10 30 d．30
15．对于一元二次方程ax2 bx c＝0（a≠0），下列说法：
①若a b c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2 c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2 bx c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2 bx c＝0的一个根，则一定有ac b 1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2 bx c＝0的根，则
⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2 bm c＝an2 bn c；
其中正确的是（ ）
a．①②③④⑤ b．①②④⑤ c．①②④ d．①②③
16.如图，已知在矩形abcd中，m是ad边的中点，bm与ac垂直，交直线ac于点n，连接dn，则下列四个结论中：①cn＝2an；②dn＝dc；③tan∠cad＝；④△amn∽△cab．正确的有（ ）
a．①②③④ b．①②③ c．①②④ d．②③④
二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分.把答案写在题中横线上)
17.某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么 将被录用（填甲或乙）．
应聘者项目 甲 乙
学历 9 8
经验 7 6
工作态度 5 7
18.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔o，物体ab在幕布上形成倒立的实像cd（点a、b的对应点分别是c、d）．若物体ab的高为6cm，小孔o到物体和实像的水平距离be、ce分别为8cm、6cm，则实像cd的高度为 cm．
19.如图，长尾夹的侧面是△abc，当ac与ab张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，已知ab＝ac＝15mm，∠acb＝70°，则这个长尾夹最大夹纸厚度为 mm．
（结果精确到1mm）
【参考数据：sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75】
20.如果关于x的一元二次方程ax2 bx c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有
（填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx n）＝0是倍根方程：则4m2 5mn n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2 3x q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2 bx c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
三、解答题(本大题有6个小题，其中21题8分；22题10分，23题12分，24题10分；25题12分,26题14分；共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
21.解方程。
（1） （2）
22.某校组织八、九年级各100名学生举行“喜迎二十大，奋进新征程”征文竞赛，现分别在八、九年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分）进行统计、整理如下：
收集数据：
八年级：74，76，79，81，84，86，87，90，90，93．
九年级：76，81，81，83，84，84，84，85，90，92．
整理数据：
八、九年级竞赛成绩各分数段整理如下：
70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
八年级 a 4 3
九年级 1 7 2
分析数据：
八、九年级成绩的平均数、中位数、众数和方差整理如下：
平均数 中位数 众数 方差
八年级 84 b 90 36.4
九年级 84 84 c 18.4
问题解决：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）根据上述数据分析，该校八、九年级中哪个年级的竞赛成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）规定竞赛成绩不低于85分记为“优秀”，请分别估计这两个年级竞赛成绩达到“优秀”的学生人数．
23.一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利
元（用含x的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
24.如图，在△abc中，ad⊥bc，be⊥ac，垂足分别为d，e，ad与be相交于点f．
（1）求证：△acd∽△bfd；
（2）当tan∠abd＝1，ac＝3时，求bf的长．
25.图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口bc宽3.9米，门卫室外墙ab上的o点处装有一盏路灯，点o与地面bc的距离为3.3米，灯臂om长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠aom＝60°．
（1）求点m到地面的距离；
（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏cd保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）
26.如图，在矩形abcd中，ab＝16cm，bc＝6cm，动点p、q分别以3cm/s，2cm/s的速度从点a，c同时出发，沿规定路线移动．
（1）若点p从点a移动到点b停止，点q随点p的停止而停止移动，问经过多长时间p，q两点之间的距离是10cm？
（2）若点p沿着ab→bc→cd移动，点q从点c移动到点d停止时，点p随点q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△pbq的面积为12cm2？
2023—2024学年度第一学期期中综合素质测评
九年级数学参考答案
一、选择题。
1-5 dadcb 6-10 dbcaa 11-16 cacbb c
二、填空题。
17、乙 18、4.5 (也可填写) 19、10 20、②③④
三、解答题
21.（1）（2x 3）2-81=0
解： （2x 3）2=81 .....................................................1分
∴2x 3=9或2x 3=-9 ...........2分
∴x1=3，x2=-6 ...........4分
解：（2）y2-7y 6=0
（y-1）（y-6）=0 .............................................................5分
∴y-1=0或y-6=0 ...........6分
∴y1=1，y2=6 ...........8分
22、解：（1）3，85，84； ...........................................3分（每空1分）
（2）九年级成绩更优异。..................................................4分
理由：例如：从平均数来看，八九年级一样，从方差来看，九年级更稳定些。 6分（只要理由能说明问题即可）
（3）∵八年级10名学生的竞赛成绩不低于85分有5人，优秀率，........................7分
∴估计八年级竞赛成绩达到“优秀”的学生人数：（人）， .......8分（可以合并计算）
∵九年级10名学生的竞赛成绩不低于85分有3人，优秀率，......................9分
∴估计九年级竞赛成绩达到“优秀”的学生人数：（人）， ......................10分
解：（1）2x，..................................................1分
（40﹣x）； 2分（忘记带括号，在此就不扣分了，但分析试卷时要给学生强调）
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20 2x）件，依题意得：（120﹣x﹣80）（20 2x）＝1200， ...........4分
整理得：x2﹣30x 200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．..........................................................6分
答：每件服装降价20元或10元时，平均每天能赢利1200元；..............................7分（只答对一种的扣1分）
商家不能达到平均每天盈利1800元。...............................8分
理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20 2y）件，
依题意得：（120﹣y﹣80）（20 2y）＝1800， ...........9分
整理得：y2﹣30y 500＝0．...............................................................10分
∵δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×500＝﹣1100＜0，
∴此方程无解， .............................................................................11分
即不可能每天盈利1800元． ...........12分
24、（1）证明：∵ad⊥bc，be⊥ac，
∴∠bdf＝∠adc＝∠bec＝90°，............................................1分
∴∠c ∠dbf＝90°，∠c ∠dac＝90°，.....................................2分
∴∠dbf＝∠dac， .......................................................3分
∴△acd∽△bfd． ...........................5分（有多种思路，请认真观察参照步骤给分）
（2）解:∵tan∠abd＝1，∠adb＝90°
，......................................................................6分
∴ad＝bd， .........................................................7分
∵△acd∽△bfd，
，....................................................................9分
∴bf＝ac＝3． ...............................................................10分
解：（1）如图，过m作mn⊥ab于n，交ba的延长线于n，
............................1分
rt△omn中，∠nom＝60°，om＝1.2，
∴∠m＝30°，
，...................................................................4分
∴nb＝ob on＝3.3 0.6＝3.9；
即点m到地面的距离是3.9米； ................................6分（解法不唯一，例如用三角函数解决，也有其他作图方法和解题思路）
（2）货车能安全通过。..................................................7分
取ce＝0.65，eh＝2.55，
∴hb＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7，
过h作gh⊥bc，交om于g，过o作op⊥gh于p， .....................8分
∵∠gop＝30°，
，
，..............................................10分
∴gh＝3.3 0.404＝3.704≈3.70＞3.5， ...........11分
∴货车能安全通过． ...........12分
26、解：（1）过点p作pe⊥cd于e，
设x秒后，点p和点q的距离是10cm．
（16﹣2x﹣3x）2 62＝102，..........................................................2分
； ...............................................................3分
∴经过或，p、q两点之间的距离是10cm； ...........4分（有的学生会分两种情况分析，请参照步骤酌情给分）
（2）连接bq．设经过ys后△pbq的面积为12cm2．
①当时，pb＝16﹣3y，
，即，...........................6分
解得y＝4； ...........7分
②当时，bp＝3y﹣16，qc＝2y，
则，.....................................9分
解得（舍去）； ...........10分
③时，，
则，............................................12分
解得y＝18（舍去）． ...........13分
综上所述，经过4秒或6秒，△pbq的面积为12cm2． ...........14分